Teoremas sobre triángulos semejantes, fórmula similar.

Teoremas sobre triángulos semejantes, fórmula similar.

Si ADE es cualquier triángulo y BC se dibuja paralela a DE, a continuación, AB / BD = AC / CE

Para demostrar que esto es cierto, trazar la línea BF, paralelo al AE para completar un paralelogramo BCEF:

Triángulos ABC y BDF tienen exactamente los mismos ángulos y así son similares (por que? Están en la sección Automóvil club británico en la página Cómo encontrar si los triángulos son similares.)

  • El lado AB corresponde a lado y lado de CA BD corresponde a BF lado.
  • Así AB / BD = AC / BF
  • Pero BF = CE
  • Así AB / BD = AC / CE

El teorema de la bisectriz del ángulo

Si ABC es un triángulo y AD divide en dos el ángulo BAC, entonces AB / BD = AC / DC

Para demostrar que esto es cierto, podemos etiquetar el triángulo de la siguiente manera:

  • Ángulo BAD = ángulo DAC = x°
  • Ángulo BAD = y°
  • Ángulo ADC = (180 – y)°

Por la Ley de los senos en el triángulo ABD:

sen x°/ BD = sen y°/ AB

Así AB × sen x° = BD × sen y°

AB / BD = sen y°/ Sen x°

Por la Ley de los senos en el triángulo ACD:

sen x°/ DC = sin (180 – y)°/C.A

Así AC × sen x° DC = × sin (180 – y)°

Asi que AC / DC = sin (180 – y)°/ Sen x°

Pero el pecado (180 – y)° = Sen y°

AC / DC = sen y°/ Sen x°

Combinatorio AC / DC = sen y°/ Sen x° con AB / BD = sen y°/ Sen x° da:

AC / DC = sen y°/ Sen x° = AB / BD

En particular, si el triángulo ABC es isósceles, entonces los triángulos ABD y ACD son triángulos congruentes

Y el mismo resultado es verdadero:

3. Zonas y Semejanza

Si dos triángulos semejantes tienen lados en la relación x: y,

entonces sus áreas están en la relación x 2: y2

Ejemplo:

Estos dos triángulos son similares con los lados en la proporción 2: 1 (los lados de uno son dos veces más que el otro):

¿Qué podemos decir acerca de sus áreas?

La respuesta es sencilla si nos basamos en tres líneas más:

Podemos ver que el pequeño triángulo encaja en el triángulo grande cuatro veces .

Por eso, cuando las longitudes dos veces siempre, la zona es cuatro veces tan grande

Así la relación de sus áreas es 4: 1

También podemos escribir 4: 1 como 2 2: 1

El caso general:

Triángulos ABC y PQR son similares y tienen lados en la proporción x: y

Área de ABC = ½bc sen A

Área de PQR = ½QR pecado P

Y sabemos que las longitudes de los triángulos están en la proporción x: y

q / b = y / x, por lo que: q = por / x

y r / c = y / x, por lo r = cy / x

Además, dado que los triángulos son similares, los ángulos A y P son lo mismo:

Ahora podemos hacer algunos cálculos:

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